Cours STMG - Maths - Chapitre 3 - Dérivation
Bienvenue chez Comprendre la comptabilité et gestion, vous trouverez des cours de mathématiques de 1ère en STMG. Voici une ébauche du chapitre 3 - Dérivation.
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1. Les formules face à une fonction dérivée
La dérivée d'une fonction f en un point traduit la pente de la tangente à la courbe en ce point. En gestion, elle permet de mesurer la vitesse de variation d'une grandeur (coût, CA, etc.).
1.1. Fonctions dérivées des fonctions usuelles
Fonction : | Fonction dérivée : |
f(x) = k (constante) | f’(x) = 0 |
f(x) = xn | f’(x) = n x n-1 |
f(x) = x | f’(x) = 1 |
f(x) = x2 | f'(x) = 2x |
f(x) = x 3 | f'(x) = 3x² |
Exemple :
La dérivation permet d'étudier la variation marginale d'une grandeur économique. Elle est indispensable pour calculer le coût marginal ou la recette marginale.
Soit une fonction de coût total C(x)=0,5x²+10x+500.
- Le terme 0,5x² devient 0,5×2x=1x.
- Le terme 10x devient 10.
- La constante 500 devient 0.
Résultat : La dérivée (coût marginal) est C′(x)=x+10.
1.2. Opérations sur les fonctions dérivées
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I. On admettra les résultats suivants :
| f | f’ |
Somme | u + v | u’ + v’ |
Produit par un réel constant | k.u | k.u’ |
2. Analyse des variations et extremums
Pour étudier les variations d'une fonction simple, on suit le procédé suivant :
1. Calculer la dérivée f'(x).
2. La ou les valeurs annulant la dérivée.
3. Étudier le signe de f'(x) :
o Si f'(x) > 0, alors f est croissante.
o Si f'(x) < 0, alors f est décroissante.
4. Dresser le tableau de variation pour identifier les extremums (maximum ou minimum).
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