Cours BTS CG - Mathématiques - Chapitre 7 - Calcul différentiel

Bienvenue chez comprendre la comptabilité et gestion, vous trouverez des cours de mathématiques en BTS CG. Voici une ébauche du chapitre 7 - Calcul différentiel.

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 1.   Rappels sur les formules

La dérivée d'une fonction f en un point traduit la pente de la tangente à la courbe en ce point. En gestion, elle permet de mesurer la vitesse de variation d'une grandeur (coût, CA, etc.).

1.1.        Fonctions dérivées des fonctions usuelles

Fonction :	Fonction dérivée :
f(x) = k (constante)	f’(x) = 0
f(x) = xn	f’(x) = n x n-1
f(x) = x	f(x) = 1
f(x) = x2	f(x) = 2x
f(x) = x 3	f(x) = 3x²
f(x) = ln x	f’(x) = 1/x
f(x) = ex	f’(x) = ex
f(x) = 1/ xn	f’(x) =               −𝑛/ 𝑥𝑛+1

Exemple :

La dérivation permet d'étudier la variation marginale d'une grandeur économique. Elle est indispensable pour calculer le coût marginal ou la recette marginale.

Soit une fonction de coût total C(x)=0,5x²+10x+500.

-          Le terme 0,5x² devient 0,5×2x=1x.

-          Le terme 10x devient 10.

-          La constante 500 devient 0.

Résultat : La dérivée (coût marginal) est C′(x)=x+10.

En BTS CG, on étudie souvent le coût moyen (x)= ​.

Si C(x)=x²+100, alors :

Pour dériver x, on obtient 1.

Pour dériver 100 / x, on utilise la formule suivante :

f(x) = 1/ xn

f’(x) =               −𝑛 𝑥𝑛+1

On obtient : -100 x 1 / x²

Résultat : (x)= =1 – 100/x².

1.2.         Opérations sur les fonctions dérivées

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I. On admettra les résultats suivants :

	f	f’
Somme	u + v	u’ + v’
Produit par un réel constant	k.u	k.u’
Produit de deux fonctions	u.v	u’.v + u.v’
Carré d’une fonction	u²	2u’.u
Inverse	1 u	-u’ /u²
Quotient	u v	u’.v – u.v’ v²

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